Ⅰ．ドップラー効果の公式の導出
この章では、ドップラー効果の公式を導きます。 ドップラー効果の公式を求める過程は、そのまま試験で出題されることもあるので、十分に理解しておく必要があります。
この章で扱う音源および観測者の運動は、音源と観測者を結ぶ方向に沿った向きの運動です。
（音源と観測者を結ぶ方向とは異なる向きに運動する場合のドップラー効果はⅢで扱います。）
１．音源が速さ\(v\)で、静止している観測者に近づく場合
最初に図を参考にせず、文章だけで考えてもらいます。
読みながら、頭の中にイメージを作り上げてください。
音速を\(V\)（\(V\gt v\)）とします。
時刻\(t\) が経過すると、音源と時刻\(t=0\)で出された波面との距離は、\((V-v)t\) となります。
波面は\(t\)の間に\(Vt\) 進みますが、音源も同じ向きに\(vt\) 進むからです。
ここで、注意することは、
音源は地面に対して\(v\)の速さで進みますが、この音源から出た音は、地面に対して\(V\)の速さで進みます。
\(V+v\)とはなりません。
したがって、音源が点のように小さいと見なせる場合、音源からどの向きにも同じ\(V\)の速さで音が伝わるわけですから、波面は、音源がその波面を発した位置を中心とした円となります。
図1-1以降の図では模式的に波面を示していますが、以上のような理由で波面は円、または、円弧で示しています。
音を伝えるのは空気です。空気が圧縮と膨張を繰り返し、この振動が音となって進みます。
つまり、音速を決めるのは、空気の性質です。
（音源が運動をしていても）音を伝える空気は、地面に対して静止していますから、音は地面に対して\(V\)の速さで進むわけです。
注）音を伝える空気自身が動いている場合には、事情が異なります。
速さ\(w\)の風が吹いている場合には、風と同じ向きに進む音の（地面に対する）速さは\(V+w\) になると考えます。
また、風と逆向きに伝わる音の速さは\(V-w\)となります。
音源の振動数を\(f\)とすると、\((V-v)t\) の距離の中に、\(t\)秒間の間に発した\(ft\)個の波が含まれています。
したがって、音波の波長は \(\frac{(V-v)t}{ft}=\frac{V-v}{f}\) となります。
その結果、伝わる音の振動数は、\([振動数]=\frac{[速さ]}{[波長]}=\frac{V}{V-v}f\) となります。
この式は、音源が近づくときには、振動数は高くなること、つまり、高い音に聞こえることを表しています。
逆に音源が（観測者から）離れていくときには、低い音に聞こえます。
これで、公式をひとつ導くことができました。
音の速さが\(V\)、音源の振動数が\(f\)のとき、音源が速さ\(v\)で静止している観則者に近づく場合、観測者の受け取る音波の振動数\(f'\)は、次のようになります。
\begin{equation} f'=\frac{V}{V-v}f \tag{1-1} \end{equation}
（1-1）式を波長で表してみます。
音源が静止しているときに出す音波の波長を\(\lambda\)、音源が\(v\)で進む場合に、その前方の音波の波長を\(\lambda'\)とします。
音源が静止していても、運動していても、音波の速さに変化はありません。
したがって、\(\lambda=\frac{V}{f}\)、\(\lambda'=\frac{V}{f'}\)ですから、
\begin{eqnarray} \frac{V}{\lambda'}&=&\frac{V}{V-v}\frac{V}{\lambda} \\
\lambda'&=&\frac{V-v}{V}\lambda \tag{1-2}
\end{eqnarray}
音速が変わらず、振動数が高くなれば、波長は短くなるということです。
文章だけで理解できたでしょうか。
文章だけの説明ではわかりにくいので、下の図1-1にしたがってもう一度説明します。
左側に音源（台車に乗ったスピーカー）が、\(t=0\)のときと時刻\(t\) のときの位置に描かれています。
2つの音源の間の距離は、\(t\) の間に進んだ距離ですから、\(vt\) です。
右側には観測者の人の形が描かれています。
スピーカーから出た音は、地面に対して\(V\)の速さで進みます。
この速さは、音源が進む向きに伝わる音でも、音源が進む向きの逆に伝わる音でも、同じ\(V\)です。
\(t=0\)で発した音の波面は、\(t\) 後には、\(t=0\)の音源の位置から\(Vt\) 離れたところまで進みます。
そして、現在（時刻\(t\)）の音源と\(t=0\)で発した音の波面の間には、（\(t\) の間に発した音がすべて詰まっているはずですから）、\(ft\) 個の波が存在しています。
（注：図1-1には、円弧で波面が表されていますが、これは音源が発した波面全てを表しているものではありません。）
図に示した波面の模式図からわかるように、空気中を伝わっている波の振動数が、音源が速さ\(v\) で進むことで、\(f\)から\(\frac{V}{V-v}f\) に変わっています。
空気中を進む実際の波の振動数が、\(\frac{V}{V-v}f\)ということ です。
なお、音源が観測者から速さ\(v\)で離れる場合には、(1-1)式の\(v\)を\(-v\)で置き換えます。
これが正しいことは、音源が遠ざかる場合の図1-1に相当する図を思い描いてみればわかります。
図1-1で、音源から左に向かう音波に注目してください。 波長が長くなっています。
この波の振動数が、\(\frac{V}{V+v}f \tag{1-3}\) です。
観測者がいるいないにかかわらず、音源が進む向きとは逆の向きに進む音波の振動数は(1-3)式のとおりになります。
繰り返しになりますが、音源が速さ\(v\)で進む向きと同じ向きに進む音波（音源の前方にある音波）の振動数は\(f'=\frac{V}{V-v}f\)、音源の進む向きとは逆向きに進む音波(音源の後方にある音波）の振動数は\(f'=\frac{V}{V+v}f\) です。
（1-1）（1-3）式の\(v\)の符号は、「近づくときには振動数は増加」「遠ざかるときは振動数は減少」から、判断すると、符号ミスが少なくできます。
このことは、２．の観測者が動く場合にも成り立ちます。
２．静止している音源に、観測者が速さ\(u\)で近づく場合
観測者が速さ\(u\)で音源に近づく場合を考えます。
音の速さを１．と同様に\(V\)（\(V\gt u\)） とします。
観測者が静止している場合には、単位時間内に距離\(V\)の中に含まれる音波が観測者に達します。
（あるいは通過していきます。）
さて、観測者は、音源に向かって速さ\(u\) で進むわけですから、同じ単位時間の間に、さらに距離\(u\) の中に含まれる音波を受けることになります。
つまり、音源に向かって速さ\(u\) で進む観測者は、単位時間に\(V+u\) の距離に含まれる音波を受けとることになります。
空気中を伝わる波の波長を\(\lambda\) とすると、\(\lambda=\frac{V}{f}\) であり、\(V+u\)の中に含まれる音波の数は\(\frac{V+u}{\lambda}\) ですから、観測者が聞く音の振動数を\(f'\)とすれば、
\begin{eqnarray} f'&=&\frac{V+u}{\lambda} \\
&=&\frac{V+u}{\frac{V}{f}} \\
&=& \frac{V+u}{V}f \tag{1-4}
\end{eqnarray}
となります。
二つ目の公式(1-4)式が導かれました。
なお、１．では\(t\) の時間を、２．では単位時間を考えましたが、１．を単位時間で、２を\(t\) の時間で考えることもできます。
以上のことを図1-2で確認します。
音源は静止しているので、空気中を伝わる音の振動数は\(f\)、波長\(\lambda\)は\(\frac{V}{f}\) です。
観測者が、静止していれば（すなわち、\(t=0\)の位置にとどまっていれば）、単位時間の間には、観測者の後方\(V\)の距離にある音波が観測者を通過する（すなわち、観測者が受ける）はずです。
実際には、観測者はその位置から\(u\)だけ前方に進んでいるので、さらに、その距離\(u\)の中に含まれる音波も受けているはずです。
結局、観測者は単位時間の間に\(V+u\)の距離の間にある音波を受けることになります。
この間には、\(\frac{V+u}{\lambda}=\frac{V+u}{V}f\) 個の波が含まれていることになります。
単位時間の波の数を表すこの式が、そのまま観測者が受ける音の振動数となります。、
（1-4）式からわかるように、観測者が音源に近づく場合、観測者が受ける音の振動数は、観測者が静止している場合に比較して、高くなります。
観測者が速さ\(u\)で音源から遠ざかる運動をしている場合には、（1-4）式の\(u\)を\(-u\) で置き換えます。
以上、１．の場合、２．の場合とも、音源と観測者が近づく場合には観測者が受ける音の振動数は高くなり、音源と観測者が遠ざかる場合には観測者が受ける音の振動数は低くなります。
このことを参考にして、（1-1）（1-4）式中の\(v\)、および\(u\)の符号を判断すると良いです。
さて、１．と２．の状況は似ているように感じますが、実際には次のような違いがあります。
１．の「音源が動く場合」には、実際に空気を伝わる音の振動数（波長）が変化しています。
しかし、２．では空気を伝わる音の振動数（波長）は変化していません。
それを受け取る観測者の運動により、同じ音が高い音にも、低い音にも聞こえます。
３．音源が速さ\(v\)で観測者が速さ\(u\)でどちらも近づく向きに運動する場合
音の速さを１．と同様に\(V\)（\(V\gt v\)、\(V\gt u\)） とします。
上の図1-3を参照してください。
音源が出している音の振動数は \(f\)ですが、観測者に近づく音波の振動数はいくつでしょう。
音源は速さ\(v\)で観測者に近づきます。
観測者の向きに出された音波の振動数 \(f'\)は、（1-1）式から、\(f'=\frac{V}{V-v}f\) であることがわかります。
観測者は伝わってくる振動数 \(f'\)に向かって、\(u\)の速さで進んでいますから、観測者が受ける音波の振動数 \(f''\) は、（1-4）式の \(f\)を \(f'\)に置き換えれば良いので、
\begin{eqnarray} f''&=&\frac{V+u}{V}f' \\
&=&\frac{V+u}{V}\frac{V}{V-v}f \\
&=&\frac{V+u}{V-v}f \tag{1-5}
\end{eqnarray}
となります。
音源、観測者の進む向きが変われは、それに合わせて（1-5）式の\(v\)、\(u\) の前の符号を変えることになります。
４．「速さ」と「速度」による式の表し方の違い
ここまで、音源および観測者の運動について、「速さ」を用いてきました。
「速度」を使って考察する場合もありますから、ここでは、「速度」を使ったときに（1-1）（1-4）式がどのように表されるかを考えます。
「速度」は大きさと向きを含みます。
向きは、ひとつの軸に沿った動きの場合（1次元の場合）は、値の正負で示されます。
ということは、全ての物体に対して統一的な正の向きの基準が必要となります。
一方、「速さ」は大きさだけを持ちます。
したがって、「速さ」は正の値であることが前提です。
このため、考察している物体のそれぞれに対して、運動の向きをあらかじめ決めてから考察する必要があります。
（個々の物体に対して個別に正の向きを決める、と考えることもできます。）
（運動の向きを決めて「速さ」を計算した結果、「速さ」が負となる場合もあります。
これは、あらかじめ決めた向きが実際の向きとは逆であったことを示しています。）
繰り返しになりますが、「速さ」を使う場合には、それぞれの物体に固有の「正の向き」を設定し、「速度」を使う場合には、どの物体についても同じ正の向きを設定すると理解することもできます。
（1-1）式と（1-4）式は、「速さ」を使って表されています。
音源と観測者の運動の正の向きを、それぞれが近づく向きとしています。
図1-1の音源の運動の正の向きは右向きです。
図1-3の観測者の運動の正の向きは左向きです。
音源と観測者では正の向きが異なっていたわけです。
それでは、「速度」を使う場合、正の向きをどう決めたら良いのでしょう。
以下では、「速度」の正の向きをある定義に基づいて定め、音源と観測者の配置が異なる二つの場合について、音源がそれぞれ正の向きに動いたときに観測者が受ける音の振動数が同じ式で表されるかどうかで、定義の良しあしを考えることにします。
最初に、右向きを「速度」の正の向きとしてみます。
これを、図1-4に示しました。
図1-4(a)では、音源が左、観測者が右です。
このとき、音源が正の向き（右）に動けば、観測者が受ける音は高くなります。
図1-4(b)では、音源が右で、観測者が左です。
このとき、音源が正の向き（右）に動くと、観測者が受ける音は低くなります。
以上から、右向きを「速度」の正の向きとする考えは、音源と観測者の配置により、ドップラー効果の振動数の式が変わってしまうため、良い定義ではないとわかります。
そもそも、何に向かって右向きなのか、左向きなのかも、明確ではありません。。
音源が左にあっても、右にあっても、ドップラー効果の式が同じ形になるように、「速度」の正の向きを定義するには、どうするのがよいでしょう。
それには、音源から観測者に向かう向きを、正の向きとするのが良いです。
下の図1-5の中に、音源が観測者の左側にある場合(a)と、右側にある場合(b)について、この定義に基づく「速度」の正の向きを示しています。
そして、図1-5は、(a)(b)のそれぞれについて、音源が正の向きに運動している状態と空気中を伝わる音波の波面を描いています。
どちらの図も音源が観測者に近づく状態を示すことになり、観測者が受ける音の振動数も同じものになっています。
そして、これらの状態は、図1-1と同じですから、ドップラー効果の式も同じものとなります。
つまり、音源から観測者に向かう向きを速度の正の向きとして、
音速が\(V\)で、振動数 \(f\)の音を発する音源の速度が\(v\)のとき、静止している観測者が受ける音波の振動数 \(f'\)は、次の式で与えられます。
\begin{equation} f'=\frac{V}{V-v}f \tag{1-6} \end{equation}
次に、「静止している音源に、観測者が速度\(u\)で運動している場合」を考えてみます。
「２．静止している音源に、観測者が速さ\(u\)で近づく場合」の「速さ」を「速度」に置き換えて考察します。
上の〈1-6）式の場合と、速度の正の向きを同じにしておくほうが、公式として覚えやすいはずですから、この場合にも、「音源から観測者に向かう向きを速度の正の向き」とします。
図1-6に、\(u\gt 0\)の場合の状況を図示しました。
この図は、図1-2と比べて、観測者の移動する向きが逆ですが、変数を使って式を立てる場合、図1-6のように、その変数が正となる領域で考察するのが楽です。
（ほかの例で言えば、ばねを含む系で運動方程式を立てる場合など、\(x\)がばねの伸びを表しているとすれば、ばねが伸びている状態の図を描いて考察します。
\(x\)がばねの縮みの場合には、ばねが縮んでいる状態の図を描いて考察します。）
図1-6も図1-2と同様に考えることができます。
観測者が静止しているとすれば、単位時間の間に距離\(V\)に相当する数の波を観測者は受けます。
ところが、観測者は単位時間の間に距離\(u\)だけ音源から離れるので、\(u\)に相当する数の波を観測者は受けることができなくなります。
結果として、観測者が単位時間に受けることができる波は、距離\(V-u\)に相当するものとなります。
以上より、
音源から観測者に向かう向きを速度の正の向きとして、
音速が\(V\)、静止している音源の出す振動数が\(f\)、観測者が速度\(u\)で移動しているとき、観測者が受ける音波の振動数 \(f'\)は、次の式で与えられます。
\begin{equation} f'=\frac{V-u}{V}f \tag{1-7} \end{equation}
それでは、敢えて\(u\lt 0\)の場合について \(f'\)を求めてみましょう。
この状況を図1-7に示します。
注意するところは、\(u\lt 0\)ですから単位時間に観測者が移動する距離は\(-u\)となるところです。
したがって、結果的に、観測者が単位時間に受けることができる波は、距離\(V+(-u)\)に相当するものとなります。
つまり、\(f'\)の式は、図1-6の場合と同じ式になります。
・ 距離が\(-u\)で表されるというところが間違いやすいところですから、
\(u\gt 0\)の状態（図1-6）で式を立てるほうがミスが少ないとわかりますね。
・ 図1-6でも図1-7でも、ドップラー効果の式として、まったく同じ式が得られました。
(1-7)式は(1-4)式と比べて、\(u\)の符号が異なることに注意しましょう。
\(u\gt 0\)のとき、すなわち、観測者が音源から遠ざかるとき、観測者が受ける音が低くなること、
\(u\lt 0\)のとき、すなわち、観測者が音源に近づくとき、観測者が受ける音が高くなること、を示しています。
さて、４．での考察を通じてわかる大事なポイントは、
「速さ」でも「速度」でも、正の向きを明確にしてから式を立てる、ことです。
記述式で考え方を書く場合でも、あるいは、答案用紙に下書きする場合でも、
「速度を\(v\)とする」と書くだけでなく、「正の向きがどの向き」であるかも記しておくべきです。
こうすることで、向きについて具体的に考えることになり、立式のミスが減らせるはずです。
Ⅱ．壁がある場合のドップラー効果
ドップラー効果の基本的な公式と、音を反射する壁（板）があるときの考え方を説明しています。
１．ドップラー効果の基本公式
「Ⅰ．ドップラー効果の公式の導出」で求めたドップラー効果の基本的な公式を図2-1に示します。
左欄は式に「速さ」を用いた場合です。
音源が観測者に近づく速さを\(v\)、観測者が音源に近づく速さを\(u\)、音（波）の速さを\(V\)としています。
音源だけが動く場合、観測者だけが動く場合、両者が動く場合のそれぞれについて、観測者が受ける音の振動数\(f'\)を示しています。
右欄は式に「速度」を用いた場合で、音源から観測者に向かう向きを正としています。
音源と観測者の上に描いた矢印は、そのものが移動する正の向きを示しています。
ドップラー効果の公式を覚える方法としては、（2-1）式（2-3）式を覚えて、（2-5）式はそのふたつの式から導出する方法と、（2-5）式を覚えて、\(u=0\)として(2-1)式、\(v=0\)として(2-3)式を導出する方法があります。
覚えやすい方法で覚えましょう。
２．音を反射する壁が存在する場合の考え方
ここでは、壁と音源と観測者が一直線上に並んでいる場合を扱います。
また、壁は受けた音を音源の向きに反射するとします。
壁と音源、観測者のいずれが動くかにより、様々な場合が考えられます。
図2-2-1と図2-2-2にそのうちのいくつかの場合について、状況とそのときに観測者が受ける音の振動数\(f''\)を示しました。
図2-2-1では、壁が静止しています。
図2-2-2では、壁が動いている場合を考えます。
音源から出た音を壁が反射してその音を観測者が受けます。
したがって、音源も観測者も壁に対して同じ側にいることになります。
そこで、ここでは、音源、観測者と壁の「速さ」を用いて考察します。
記号は図2-2-1に示しました。
壁を扱う場合は基本的には、壁は観測者であり音源でもあると考えて、次のようにふたつのステップを考えます。
①壁が音を受ける
このとき、壁を観測者であると見なします。
したがって、図2-1から、音源と観測者(壁）との関係が一致するものを探し、対応する式を用います。
例えば、音源が静止していて壁が動いていれば、(2-3)式を用います。
ここで得られた（壁が受ける音の）振動数を\(f'\)で表します。
②壁が振動数\(f'\)の音を発する
このとき、壁を音源であると見なします。
図2-1から、音源（壁）と観測者との関係が一致するものを探し、対応する式を用います。
図2-2-1と図2-2-2で示した例について、上述のふたつのステップから\(f'\)、\(f''\)を求める過程を確認してください。
さて、ふたつのステップに分けて考えることで正しい答が得られることを、「Ⅰ．ドップラー効果の公式の導出」の考察と同じように考えて確認します。
図2-2-2の、音源と観測者が静止していて壁が運動する場合を例として考えます。
図2-3において、時刻\(t=0\)の反射壁の位置を\(O\)とします。
それから単位時間（1秒）経過するまでの間に起こることを考えます。
時刻\(0\)で壁の位置\(O\)にあった波は（壁を透過すると考えると）、壁から\(V\times 1\)離れた点\(T\)に達します。
同時に壁は点\(O\)から\(w\times 1\)離れた点\(A\)に移動しますから、\(OA\)の間に存在する波を壁が受けたことになります。
つまり、単位時間に壁が受けて、反射する波は、\(AT\)の間に存在する数の波となります。
\(OT\)の距離は\(V\times 1\)で、\(OA\)の距離は\(w\times 1\)ですから、\(AT\)の距離は\(V+w\)です。
\(V+w\)の距離に含まれる波の数は、（\(V\)の距離にある波の数が\(f\)であることから） \(\frac{V+w}{V}f\)です。
壁は、この数の波を単位時間に反射して返します。
単位時間の波の数は、そのまま、振動数\(f'\)ですから、
\begin{equation} f'=\frac{V+w}{V}f \tag{2-20} \end{equation}
と、表せます。
この式は、（2-3）式で観測者が\(w\)の速さで音源に近づくときのドップラー効果の式と一致します。
このことは、壁を観測者と考えて良いことを示しています。
次に反射した波について考えます。
壁が、点\(O\)にあるときに反射した波は、単位時間（1秒）後には、\(V\times 1\)離れた点\(R\)に達します。
単位時間後に、壁は点\(A\)まで進んでいますから、単位時間に壁が反射した波は、\(RA\)の間にあることになります。
これを図2-4に示しました。
では、観測者が観測する音の振動数\(f\)を求めます。
\(RA\)の距離（\(V-w\)）の中に、\(\frac{V+w}{V}f\) の数の波が存在するわけですから、観測者に向かう音波の波長\(\lambda''\)は、
\begin{equation} \lambda''=\frac{V-w}{\frac{V+w}{V}f}=\frac{(V-w)V}{(V+w)f} \tag{2-21} \end{equation}
したがって、振動数\(f''\)は、音の速さは\(V\)ですから、
\begin{eqnarray} f''&=&\frac{V}{\lambda''} \\
&=&\frac{V}{\frac{(V-w)V}{(V+w)f}} \\
&=&\frac{V+w}{V-w}f \tag{2-22}
\end{eqnarray}
これは、（2-9）式に一致しました。
つまり、壁の効果を考える場合、ふたつのステップに分けて考えることは正しいことが分かりました。
Ⅲ．特殊な設定でのドップラー効果
１．風が吹いている場合
「Ⅰ．ドップラー効果の公式の導出」において（1-1）式を導くときには、音源が運動していても、音源から出る音波の速さ\(V\)は変化しないと考えました。
これは、音速は空気の性質によって決まり、「Ⅰ．ドップラー効果の公式の導出」においては、（音を伝える媒質としての）空気自体は動いていないと仮定していたからです。
風が吹くことは、音を伝える媒質である空気自体が動いていることになります。
風が吹いていた場合、ドップラー効果にどのような影響があるかを、「音源が速さ\(v\)で、静止している観測者に近づく場合」について考えます。
ここでは、風は音源が進む向きに一定の速さ\(w\)で吹いているものとします。
速さ\(w\)で動く空気の中を、音波は空気に対して速さ\(V\)で伝わるわけですから、観測者（地面）から見たとき、音源から出された音波は\(V+w\) の速さで近づいてくることになります。
これは音速が、\(V\)から\(V+w\)に変わったと捉えることができます。
風下である観測者に向かう向きの音速は\(V+w\) となり、風上に向かう向きの音速は\(V-w\) となります。
状況を図3-1にまとめました。
観測者が受ける音の振動数\(f'\)は、（1-1）式において、音速\(V\)を\(V+w\)に置き換えて、次のようになります。
\begin{eqnarray} f'&=&\frac{(V+w)}{(V+w)-v}f \\
&=&\frac{V+w}{V+w-v}f \tag{3-1}
\end{eqnarray}
２．斜め方向のドップラー効果
「Ⅰ．ドップラー効果の公式の導出」でも「Ⅱ．壁がある場合のドップラー効果」でも、音源および観測者の運動の向きは音源と観測者を結ぶ方向でした。
ここでは、その方向からずれた向きに、音源または、観測者が運動する場合のドップラー効果について考えます。
最初に音源が動く場合を考えます。
図3-2は、水平面上にある音源と観測者を鉛直上方から観察したものです。
\(f\) の振動数を発する音源は水平面上を\(v\) の速さで動いています.
その向きは、音源から点\(O'\)の観測者を見た向きに対して斜め（角度\(\theta\)）です。
ここで、音源が進む向きを\(x\)軸の正の向きとします。
注） 図3-2は水平面を表していますが、鉛直面（観測者の上方を音源が進む）としても以下の議論は同じように成り立ちます。
音源は\(x\)軸上を\(v\) の速さで進み、観測者は点\(O'\)に静止したまま、音を観測します。
点\(O'\)から\(x\)軸に降ろした垂線の足を点\(O\)とします。
図3-2は、音源が点\(O\)の左にある場合、つまり、音源が観測者に近づいているときを示しています。
このとき、音源と観測者を結ぶ方向の音源の速さは、\(v\cos\theta\)と表されます。
図3-2では、音源は\(v\cos\theta\) の速さで観測者に向かって近づいているわけですから、観測者が受ける音の振動数を\(f'\) とすれば、（1-1）式から、次のドップラー効果の式が導かれます。
\begin{equation} f'=\frac{V}{V-v\cos\theta}f \tag{3-2} \end{equation}
この場合のドップラー効果をさらに理解するため、図3-2において、音源が観測者の左から、正面を通り、右に動いていく過程で、観測者が観測する音の振動数\(f'\) の変化を考えます。
音源の運動は\(x\)軸に沿って右向きに一定の速さ\(v\)で移動するものとします。
このとき、\(x\)軸のそれぞれの位置において、音源と点\(O'\)の観測者を結ぶ方向の音源の速度の成分の大きさと向きを図3-3に赤の矢印を使って示します。
図で音源が\(O\)の左にある場合は、この成分の向きが観測者に向かう向きですから、（3-2）式からわかるように、その大きさが大きいほど観測者が受ける音の振動数は高くなります。
一方、音源が\(O\)の右にある場合は、この成分の向きが観測者に向かう向きの逆向きですから、その大きさが大きいほど観測者の受ける音の振動数は低くなります。
音源が点\(O\)を通過するときには、この成分の大きさが\(0\)になりますから、観測者が受ける音の振動数は音源が出す振動数\(f\) と同じになります。
以上より、音源が左から右に移動するとき、観測者が観測する音の振動数は、図3-4に青線で示すように変化します。
図3-4には比較のため、観測者が点\(O\)にいたとき受ける音の振動数の変化を赤線で示しています。
観測者が\(O\)にいる場合、音源が左側にあるときは\(f\)より高い振動数で一定、右にあるときには\(f\)より低い振動数で一定となります。
さて、図3-4の青線では、振動数は連続的に変化しています。
したがって、ある時間をかけて振動数を測定したとき、その時間の間でも振動数は変化していて一定ではありません。
つまり、振動数を測定しようとしたら、振動数を測定する時間をなるべく短くしたうえで、その間は一定の振動数を保つと仮定することになります。
何らかの近似が必要になると予想できます。。
このことを踏まえて、（3-2）式をもう一度検証してみましょう。
下の図3-5-1は、観測者と音源の位置、音源の移動を模式的に描いたものです。
音源が最初の波を発してからある決まった数（例えば\(n\)）の波を発するまで\(\Delta t_0\)の時間がかかったとします。
音源の振動数が\(f\)であれば、\(n=f\Delta t_0\) です、
このとき、観測者が最初の音を受けてから、n個めの波を受けるまでに\(\Delta t\)の時間がかかったものとします。
観測者が受ける音波の振動数が\(f'\)であるとすれば、\(n=f'\Delta t\) と表されるはずです。
したがって、
\begin{eqnarray} f\Delta t_0&=&f'\Delta t \tag{3-3} \\
f'&=&\frac{\Delta t_0}{\Delta t}f \tag{3-4}
\end{eqnarray}
つまり、\(\Delta t_0\)を用いて、\(\Delta t\)を表すことができれば、\(f'\)が求まります。
注意する点は、\(\Delta t_0\)の間にも音源は移動を続けていることです。
図3-5-1はこれを表しています。
音源は時刻 \(t_0\) で点Aに、\(\Delta t_0\) の間に移動して、時刻 \(t_0+\Delta t_0\) に点Bを通過します。
図3-5-1の左側の(a)の図は、点A,B,O'の間の距離の関係を示しています。
ABの距離は\(v\Delta t_0\)となります。
AO'は\(l_1\)、BO'は\(l_2\)であると仮定します。
(b)の図は、点A,B,O'の間の時間の関係を示しています。
音速を\(V\)で表すと、AからO'に到達するまでの時間は、\(\frac{l_1}{V}\)です。
音源がAで時刻\(t_0\)に発した波（最初の波）が点O'に届く時刻は、\(t_0+\frac{l_1}{V}\)です。
次に、音源がBで時刻\(t_0+\Delta t_0\) で発した音（n個めの音）が点O'に届く時刻は、\(t_0+\Delta t_0+\frac{l_2}{V}\)です。
したがって、
\begin{eqnarray} \Delta t&=&(t_0+\Delta t_0+\frac{l_2}{V})-(t_0+\frac{l_1}{V}) \\
&=&\Delta t_0+\frac{l_2}{V}-\frac{l_1}{V} \tag{3-5}
\end{eqnarray}
さて、式がひとつ得られましたが、（3-5）式では\(l_1\)、\(l_2\)が邪魔です。
（3-2）式を導くことを考えると、\(l_1\)と\(l_2\)の関係を、\(\cos\theta\)を含む式で表したいところです。
そこで、図3-5-1(a)の△ABO'について、余弦定理を使うことを考えます。
すると、\(l_2^2=l_1^2+(v\Delta t_0)^2-2l_1v\Delta t_0\cos\theta \tag{3-6} \)が得られます。
（3-6）式の\(l_2\)を（3-5）式に代入します。
\begin{eqnarray} \Delta t&=&\Delta t_0+\frac{\sqrt{l_1^2+(v\Delta t_0)^2-2l_1v\Delta t_0\cos\theta}}{V}-\frac{l_1}{V} \\
&=&\Delta t_0+\frac{1}{V}\left(l_1\sqrt{1+\left(\frac{v\Delta t_0}{l_1}\right)^2-2\left(\frac{v\Delta t_0}{l_1}\right)\cos\theta}-l_1 \right) \\
&=&\Delta t_0+\frac{l_1}{V}\left(\sqrt{1+\left(\frac{v\Delta t_0}{l_1}\right)^2-2\left(\frac{v\Delta t_0}{l_1}\right)\cos\theta}-1 \right) \tag{3-7} \\
ここで、AB\ll AO'、すなわち&、&\frac{v\Delta t_0}{l_1}\ll 1 という条件を考え、この2次の項を無視することにすると、 \\
&\fallingdotseq&\Delta t_0+\frac{l_1}{V}\left(\sqrt{1-2\left(\frac{v\Delta t_0}{l_1}\right)\cos\theta}-1 \right) \tag{3-8}
\end{eqnarray}
さらに、
\begin{equation} x\ll 1 のとき、(1+x)^n\fallingdotseq 1+nx \tag{3-9} \end{equation}
の近似式を適用すると、(3-8)式の根号の式は、\(x=-2\frac{v\Delta t_0}{l_1}\cos\theta\)、\(n=\frac{1}{2}\)と考えることができるので、
\begin{eqnarray} \sqrt{1-2\left(\frac{v\Delta t_0}{l_1}\right)\cos\theta}&=&\left(1-2\frac{v\Delta t_0}{l_1}\cos\theta\right)^{\frac{1}{2}} \\
&=&1+\frac{1}{2}\left(-2\frac{v\Delta t_0}{l_1}\cos\theta\right) \\
&=&1-\frac{v\Delta t_0}{l_1}\cos\theta \tag{3-10}
\end{eqnarray}
(3-10)式を（3-8）式に代入して、
\begin{eqnarray} \Delta t&\fallingdotseq&\Delta t_0+\frac{l_1}{V}\left(\sqrt{1-2\left(\frac{v\Delta t_0}{l_1}\right)\cos\theta}-1 \right) \\
&\fallingdotseq&\Delta t_0+\frac{l_1}{V}\left(1-\frac{v\Delta t_0}{l_1}\cos\theta-1\right) \\
&=&\Delta t_0-\frac{l_1}{V}\frac{v\Delta t_0}{l_1}\cos\theta \\
&=&\Delta t_0-\frac{v\Delta t_0\cos\theta}{V} \\
&=&\frac{V-v\cos\theta}{V}\Delta t_0 \tag{3-11} \\
これより、\frac{\Delta t_0}{\Delta t}&=&\frac{V}{V-v\cos\theta} \tag{3-12}
\end{eqnarray}
この式を(3-4)式に代入します。
\begin{eqnarray} f'&=&\frac{\Delta t_0}{\Delta t}f \tag{3-4} \\
&=&\frac{V}{V-v\cos\theta}f \tag{3-13}
\end{eqnarray}
（3-2）式と一致しました。
この式を導く過程で、\(\frac{v\Delta t_0}{l_1}\ll 1\)、つまり、\(v\Delta t_0\ll l_1\)という仮定を用いています。
周波数を観測する間に音源が動く距離が、音源から観測者までの距離よりも十分に小さい場合に、（3-2）式（3-13）式が成立します。
以上の説明では、余弦定理を用いましたが、設定を少し変えると、三平方の定理を使って考えることもできます。
これを、図3-5-2に示しました。
図3-5-1と異なる点は、\(x\)軸に原点\(O\)を導入しました。
そして、観測者は原点\(O\)から立てた垂線に沿って、距離\(L\)離れた点\(O'\)にいるものとします。
さらに、音源は\(v\)の速さで\(x\)軸上を\(+x\)の向きに移動し、原点\(O\)を通過する瞬間を時刻\(0\)とします。
図3-5-1では、音源は観測者より左側にいるとして、式を導きましたが、図3-5-2では、音源は観測者の右側にいるとして式を導くことにします。
これは、座標\(x\)が正で、時刻 \(t\)も正の領域で考える方が考えやすいからです。
なるべく図3-5-1の考察手順に沿って解いていきます。
音源は時刻\(t_0\)（\(t_0\gt 0\)）で点Aに、\(\Delta t_0\)の間に移動して、時刻\(t_0+\Delta t_0\)に点Bを通過します。OAの距離は\(v(t_0-0)=vt_0\)、OBの距離は\(v(t_0+\Delta t_0-0)=v(t_0+\Delta t_0)\) です。
したがって、AO'は\(\sqrt{L^2+(vt_0)^2}\)、BO'は\(\sqrt{L^2+(v(t_0+\Delta t_0))^2}\) です。
音源がAで時刻\(t_0\)に発した波(最初の波）が点O'に届く時刻は、
\begin{equation} t_0+\frac{\sqrt{L^2+v^2t_0^2}}{V} \end{equation}
です。
次に、音源がBで時刻\(t_0+\Delta t_0\)で発した（\(n\)個めの）波が点O'に届く時刻は、
\begin{eqnarray} t_0+\Delta t_0+\frac{\sqrt{L^2+v^2(t_0+\Delta t_0)^2}}{V}&=&t_0+\Delta t_0+\frac{\sqrt{L^2+v^2t_0^2+2v^2t_0\Delta t_0+v^2\Delta t_0^2}}{V} \\
&\fallingdotseq&t_0+\Delta t_0+\frac{\sqrt{L^2+v^2t_0^2+2v^2t_0\Delta t_0}}{V} \\
&=&t_0+\Delta t_0+\frac{\sqrt{L^2+v^2t_0^2}}{V}\sqrt{1+\frac{2v^2t_0\Delta t_0}{L^2+v^2t_0^2}} \\
&=&t_0+\Delta t_0+\frac{\sqrt{L^2+v^2t_0^2}}{V}\left(1+\frac{v^2t_0\Delta t_0}{L^2+v^2t_0^2}\right)
\end{eqnarray}
ここでは、\(v^2\Delta t_0^2\)の項が、他の項に比較して小さいとして省略しました。
また、\(|z|\ll 1\)のとき、\(\sqrt{1+z}\fallingdotseq 1+\frac{z}{2}\)と近似できることを用いました。
この近似式は、\((1+z)^n\fallingdotseq 1+nz\) のように、もっと汎用的な形で表現できます。
上の式の変形では、\(2v^2t_0\Delta t_0\ll (L^2+v^2t_0^2)\)（つまり、\(AB\ll AO'\)）であると考えて、近似しています。
以上より、観測者が最初の波を受けてから、\(n\)個めの波を受けるまでにかかった時間\(\Delta t\) は、
\begin{eqnarray} \Delta t&=&t_0+\Delta t_0+\frac{\sqrt{L^2+v^2t_0^2}}{V}\left(1+\frac{v^2t_0\Delta t_0}{L^2+v^2t_0^2}\right)-\left(t_0+\frac{\sqrt{L^2+v^2t_0^2}}{V}\right) \\
&=&\Delta t_0+\frac{\sqrt{L^2+v^2t_0^2}}{V}\left(\frac{v^2t_0}{L^2+v^2t_0^2}\Delta t_0\right) \\
&=&\left(1+\frac{v^2t_0}{V\sqrt{L^2+v^2t_0^2}}\right)\Delta t_0
\end{eqnarray}
（3-4）式の関係を用いれば、\(f'\)は、
\begin{equation} f'=\frac{\Delta t_0}{\Delta t}f=\frac{V\sqrt{L^2+v^2t_0^2}}{V\sqrt{L^2+v^2t_0^2}+v^2t_0} \end{equation}
となります。
さて、図3-5-1と同じように\(\angle BAO'=\theta\)とすれば、
\begin{equation} \cos\theta=-\frac{vt_0}{\sqrt{L^2+v^2t_0^2}} \end{equation}
です。
\(\cos\theta\)を用いて\(f'\)を表すと、
\begin{eqnarray} f'&=&\frac{1}{1+\frac{v^2t_0}{V\sqrt{L^2+v^2t_0^2}}}f \\
&=&\frac{1}{1-\frac{v\cos\theta}{V}}f \\
&=&\frac{V}{V-v\cos\theta}f
\end{eqnarray}
（3-13）式と同じ結果が得られました。
（3-13）式を少し異なるふたつの方法で求めました。
これらの導出過程がそのまま出題される可能性もありますから、考え方を覚えておきましょう。
音源が動く、斜め方向のドップラー効果の別の例を、図3-6に示します。
音源が水平面内で速さ\(v\)で等速円運動をしていて、同じ水平面内で静止している観測者が音を観測する場合です。
これは、ブザーを紐に括り付けて振り回したときの音を別の人間が聞く場合に相当します。
図3-6は、音源と観測者が存在する水平面を鉛直上方から眺めた図です。
この場合、音源の移動する向きは、観測者と音源を結ぶ方向と様々な角度になります。
それでは、観測者が観測する音の振動数が最大になるのは音源がどの位置にあるときでしょうか。
また、観測する音の振動数が最小になるとき、あるいは、振動数が音源の振動数\(f_0\)と同じになるのは、音源がどの位置にあるときでしょうか。
これを、図3-7に示します。
音源の速さは常に一定ですから、最大の振動数を観測するのは、音源が観測者に向かって移動するときです。
円運動する物体の運動の向きはその点における円運動の円の接戦の方向であることを考えれば、それは図3-7の点Cです。
観測者の位置から音源の軌跡（円）に接線を引けば、接点が２つあり、そのうちのひとつが点Cで、音源がここにあるとき、最大の振動数が観測されます。
もうひとつの接点Aでは、音源が観測者から離れる向きですから、このとき、観測者は最も低い振動数を観測することになります。
また、点B、点Dでは、音源の速度に、音源と観測者を結ぶ方向の成分がないので、ドップラー効果は起こらず、観測者が観測する振動数は音源が出す音の振動数\(f_0\)に等しくなります。
観測者が観測する最大の振動数を\(f_H\)、最小の振動数を\(f_L\)、音速を\(V\)とすると、上の考察から、
\begin{eqnarray} f_H&=&\frac{V}{V-v}f_0 \tag{3-14} \\
f_L&=&\frac{V}{V+v}f_0 \tag{3-15}
\end{eqnarray}
となります。
（3-14）（3-15）式から、観測者の位置で最大振動数\(f_H\)、最小振動数\(f_L\)を測定すると、音速\(V\)、音源の速度\(v\)、音源が出す音の振動数\(f_0\)のひとつが既知であれば、他のふたつを求めることができることがわかります。
たとえば、音速\(V\)がわかっていれば、音源の速度\(v\)と音源の振動数\(f_0\)を求めることができます。
言い換えれば、\(v\) および\(f_0\) を、\(f_H、f_L、V\) で表すことができます。
ここで、ドップラー効果から少しはなれ、音源の運動に要する時間と、観測点で音源の音を観測する時間との関係を考えます。
具体的には、図3-8において、観測者が最大振動数\(f_H\)を観測してから、次に\(f_H\)を観測するまでの時間を求めてみます。
これは、音源が点Cから円軌道を1周する時間に対応しているわけですが、音源が点Cを通過する時刻と観測者が\(f_H\)を観測する時刻は異なることに注意します。
つまり、観測者が\(f_H\)を観測する時刻と、次に\(f_H\)を観測する時刻を求める必要があります。
そこで、時刻の基準として、音源が点Cを通過する瞬間の時刻を\(0\)とします。
そうすると、観測者が\(f_H\)を観測する時刻\(t_1\)は、点Cから観測者までの距離を\(l\)として、\(t_1=\frac{l}{V}\)です。
ここで、\(V\)は音速です。
音源が次に点Cを通過する瞬間の時刻は、円運動の半径を\(r\)として、音源の速さが\(v\)ですから、\(\frac{2\pi r}{v}\)です。
このとき観測者が\(f_H\)を観測する時刻\(t_2\)は、\(t_2=\frac{2\pi r}{v}+\frac{l}{V}\)です。
これらから、観測者が\(f_H\)を観測してから、次に\(f_H\)を観測するまでの時間は、
\begin{equation} t_2-t_1=\frac{2\pi r}{v} \tag{3-16} \end{equation}
となります。
それでは、観測者が\(f_0\)を観測してから、次に\(f_0\)を観測するまでの時間はどのように表されるでしょうか。
これを図3-9に示しました。
ここで、観測者から点Dまでの距離を\(L\)で表すことにします。
観測者が\(f_0\)を観測してから、次に\(f_0\)を観測するまでの過程は2つあります。
ひとつは音源が点D→点A→点Bと進む場合、もうひとつは音源が点B→点C→点Dと進む場合です。
ここでは、前者を考えます。
音源が点Dを通過する瞬間の時刻を\(0\)とします。
観測者がこのときの音\(f_0\)を観測する時刻\(t_3\)は、\(t_3=\frac{L}{V}\)です。
音源が点Bに達する時刻は、\(\frac{\pi r}{v}\)ですから、観測者がこのときの音\(f_0\)を観測する時刻\(t_4\)は、\(t_4=\frac{\pi r}{v}+\frac{L+2r}{V}\)です。
以上より、観測者が\(f_0\)を観測してから、次に\(f_0\)を観測するまでの時間は、
\begin{eqnarray} t_4-t_3&=&\frac{\pi r}{v}+\frac{L+2r}{V}-\frac{L}{V} \\
&=&\frac{\pi r}{v}+\frac{2r}{V} \tag{3-17}
\end{eqnarray}
となります。
このタイプの問題では、音源が音を出す時刻と、観測者がその音を受ける時刻が異なることに注意しましょう。
次に、観測者が移動する場合を考えます。
これは、図3-10のような状況です。
観測者が速さ\(u\)で\(x\)軸上を移動しています。
音源は、観測者の軌道から外れたところに静止しています。
この場合にも、ドップラー効果に関与するのは、\(u\)の観測者と音源を結ぶ方向の速度成分です。
観測者の移動の向きから、観測者から見た音源の向きへの角度を\(\theta\)とすると、この成分が\(u\cos\theta\)と表されます。
したがって、音源の発する振動数\(f_0\)の音を図3-10のように移動する観測者が受けたときの振動数\(f'\)は、(1-4)式から次のように表されます。
\begin{equation} f'=\frac{V+u\cos\theta}{V}f \tag{3-18} \end{equation}
３．音源の速さが音速を超える場合
【作成中】
Ⅳ．ドップラー効果の例題
１．例題１：波面の図から考える
水面に、細い針金の先端を一瞬触れさせ、すぐに針金を水面から引き上げると、水面に波面が広がります。
今、針金を水面に毎秒5回触れさせながら、図4-1の\(x\)軸上を一定の速さで\(+x\)向きに進むものとします。
このとき、水面を鉛直上方から観察したところ、図4-1のような波紋が観察されました。
この図から何が導かれるかを考えます。
設定は水面上の波ですが、音の場合で考えれば、波紋は波面ですし、細い針金の先端は音源と考えることができます。
つまり、音源が一定速度で運動するドップラー効果の問題と考えることができます。
ただ、観測者はいません。
ですから、音源が等速直線運動するときに、音源が発した音は空間中で振動数がどのように変化するかを考える、というような問題となります。
波紋を伝えるのは水ですから、波紋が伝わる速さは、針が運動していてもいなくても同じです。
また、同じ理由で、どの向きにも波紋が伝わる速さは同じです。
したがって、波紋は円になります。
その円の中心は、その波紋を形成したときの針の位置になります。
最も大きな円の波紋が最初の波紋です。
その中心は原点\(O\)で、針はここから\(+x\)向きに等速で進みました。
円の中心が\(+x\)向きにずれていくのは、この理由です。
図4-1で、10個の波紋が見えます。
最初の波紋を打った直後からは、図4-1の図は（11回目の波紋を打つ直前の図ですから）2秒経過していることがわかります。
最初の波紋は、この2秒の間に、\(+40cm\)、\(-40cm\)の座標に達していますから、波紋が伝わる速さは、\(20cm/s\)です。
10番目の波紋の中心は目測で\(18cm\)と読み取れます。
1番目を打ってから、10番目を打つまでの時間は、\(1.8\)秒ですから、針の速さは、\(\frac{18cm}{1.8s}=10cm/s\)です。
針の進む前方では、波の振動数はどのようになっているのでしょうか。
ドップラー効果の式を使って考えます。
もともとの振動数\(f_0\)は、「針金を水面に毎秒5回触れさせながら」から、\(f_0=5Hz\)です。
針の進む前に観測者がいると仮定して、その位置での振動数\(f_1\)は、
波の伝わる速さを\(V=20cm/s\)、針（波源）の進む速さを\(v=10cm/s\)として、
\begin{eqnarray} f_1&=&\frac{V}{V-v}f_0 \\
&=&\frac{20}{20-10}\times 5 \\
&=&10Hz
\end{eqnarray}
針の進む後ろ側に観測者がいると仮定して、その位置での振動数\(f_2\)は、
波の伝わる速さを\(V=20cm/s\)、針（波源）の進む速さを\(v=10cm/s\)として、
\begin{eqnarray} f_2&=&\frac{V}{V+v}f_0 \\
&=&\frac{20}{20+10}\times 5 \\
&=&3.3Hz
\end{eqnarray}
２．例題２：壁がある場合のドップラー効果とうなり
図4-2を見てください。
観測者と音源である音叉と壁が一直線上に並んでいます。
観測者と壁は静止していて、音叉（振動数\(f_0\)）だけが（観測者から離れる向きに）\(v\)の一定の速さで壁に近づくように移動しています。
音速を\(V\)とします。
観測者は音叉から直接の音波（振動数\(f_1\)）と、壁で反射した音波（振動数\(f_2\)）を受けます。
あとで計算するとわかるように、\(f_1\neq f_2\)であるため、\(f_1\)と\(f_2\)はうなりを生じます。
このため、最初に、\(f_1、f_2\)を求めさせ、その後に、うなりの回数を求めさせる問題が多いです。
最初に\(f_1\)を求めます。
音源が観測者から離れる向きに速さ\(v\)ですから、（符号に注意して）
\begin{equation} f_1=\frac{V}{V+v}f_0 \tag{4-1} \end{equation}
次に\(f_2\)を求めますが、壁の反射では、最初に壁が受ける音波の振動数\(f_2'\)を求めます。
このとき、壁は観測者と考えることができて、音源が\(v\)の速さで静止する観測者に近づくという状況ですから、
\begin{equation} f_2'=\frac{V}{V-v}f_0 \tag{4-2} \end{equation}
次に、壁を\(f_2'\)の振動数の音波を発する音源と考えますが、音源も観測者も静止しているので、\(f_2=f_2'\)です。
うなりの回数\(n\)は、\(|f_1-f_2|\)と表されますが、\(f_2\gt f_1\)ですから、
\begin{eqnarray} n&=&f_2-f_1 \\
&=&\frac{V}{V-v}f_0-\frac{V}{V+v}f_0 \\
&=&\frac{Vf_0(V+v)-Vf_0(V-v)}{(V-v)(V+v)} \\
&=&\frac{2vVf_0}{V^2-v^2} \tag{4-3}
\end{eqnarray}
となります。
それでは、壁を一定の速さで動かすことにして、うなりを\(0\)にしたいのですが、どの向きにいくらの速さで壁を動かせば良いのでしょうか。
この状況を図4-3に示しました。
壁をどちらに動かしたらよいかわかりませんから、右に動くと仮定しています。
音叉から直接観測者が受ける音波の振動数は\(f_1\)のままです。
一方、壁に反射してから観測者に届く音波は壁が動いているため、\(f_2\)に等しくありません。
そこで、壁に反射して観測者に届く音波の振動数を\(f_3\)とします。
うなりが\(0\)であるということは、
\begin{equation} f_3=f_1 \tag{4-4} \end{equation}
ということです。
そこで、\(f_3\) を求めます。
最初に壁が観測者として受ける音波の振動数\(f_3'\)を求めます。
音源も観測者も動いているので（2-5）式の状況ですが、符号に注意して、
\begin{equation} f_3'=\frac{V-w}{V-v}f_0 \tag{4-5} \end{equation}
つぎに壁を\(f_3'\)の振動数の音波を出す音源と考えると、静止している観測者から音源が\(w\)の速さで遠ざかるという状況ですから、
\begin{eqnarray} f_3&=&\frac{V}{V+w}f_3' \\
&=&\frac{V}{V+w}\frac{V-w}{V-v}f_0 \\
&=&\frac{V(V-w)}{(V-v)(V+w)}f_0 \tag{4-6}
\end{eqnarray}
（4-4）式を用いて、
\begin{eqnarray} \frac{V(V-w)}{(V-v)(V+w)}f_0&=&\frac{V}{V+v}f_0 \tag{4-7} \\
\frac{V-w}{(V-v)(V+w)}&=&\frac{1}{V+v} \\
(V-w)(V+v)&=&(V-v)(V+w) \\
V^2+Vv-wV-wv&=&V^2+Vw-vV-vw \\
Vv-wV&=&Vw-vV \\
v-w&=&w-v \\
w&=&v \tag{4-8}
\end{eqnarray}
つまり、壁を音源が進む向きに音源と同じ速さで動かせば、うなりが\(0\)となることが示されました。
この条件のとき、壁が音叉から受ける音波の振動数は、両者の速度が同じですからドップラー効果は起こらず\(f_0\)です。
式で示すと、（4-5）式の\(w\) に\(v\) を代入することになるので、
\begin{equation} f_3'=\frac{V-v}{V-v}f_0=f_0 \end{equation}
です。
もう少し考えると、系の外から音叉が出す音波の波面を観察すると、音叉が進む前面では間隔が詰まっていて（波長が短く）、逆の向きには間隔が拡がっている（波長が長い）ことがわかるはずです。
壁は、波長が短くなった音を音源から逃げる向きに移動して聞くため、振動数を下げて聞くことになります。
このことにより、音源の振動数\(f_0\)と同じ振動数で聞くことになります。
この結果、音叉も壁も、観測者から\(v\)の速さで遠ざかる（同じ振動数の音を発する）音源となったので、明らかに\(f_1=f_3\)が成り立ちます。
図4-3では、壁の移動の向きを右向きに仮定しています。
左向きに仮定したらどうなるのでしょうか。
左向きに速さが\(w'\) であると仮定してみます。
そうすると、（4-7）式において、\(w\)を\(-w'\) で置き換えた式が立てられます。
この式を\(-w'\) について解けば、式の形から、\(-w'=v\) という解が得られるはずです。
つまり、\(w'=-v\) となります。
このことは、仮定した左向きとは逆の向きに\(v\) に等しい速さで壁を動かせば良いことを示しています。
要するに、壁を動かす向きを間違えて仮定しても、正しい向きを示す答が得られるということです。
お遊びで、問題を作りかえて考えます。
それは、図4-3で、観測者と音叉の位置を入れ替えます。
これを図4-4に示します。
これで、何が変わったでしょうか。
音叉→壁→観測者の経路の向きは図4-3と変わっていません。
しかし、音叉→観測者の経路は向きが変わっています。
つまり、図4-3では、音叉が観測者から離れて行きますが、図4-4では観測者に近づきます。
このため、音叉→壁→観測者の経路で観測者が受ける音波の振動数は\(f_3\)のままですが、音叉から直接観測者が受ける音波の振動数\(f_4\)は\(f_1\)とは異なります。
前問と同じように、うなりが生じない\(w\)の条件を考えます。
音叉（音源)が速さ\(v\)で静止する観測者に近づくので、\(f_4\)は、
\begin{equation} f_4=\frac{V}{V-v}f_0 \tag{4-9} \end{equation}
うなりが生じない条件は、\(f_4=f_3\)ですから、
\begin{eqnarray} \frac{V}{V-v}f_0&=&\frac{V(V-w)}{(V-v)(V+w)}f_0 \tag{4-10} \\
1&=&\frac{V-w}{V+w} \\
V+w&=&V-w \\
w&=&0
\end{eqnarray}
これはどう考えれば良いのでしょう。
壁を静止しているとして、音叉→壁→観測者の経路で観測者が受ける音波の振動数を求めます。
最初に壁を観測者と考えます。
音源が\(v\)の速さで静止している観測者である壁に近づいています。
この状況は、上で\(f_4\)を求めた状況と同じですから、壁が受ける音波の振動数は\(f_4\)です。
次に壁は音源として\(f_4\)の振動数の音を観測者に返しますが、音源である壁も観測者も静止しているので、観測者が受ける振動数は\(f_4\)のままです。
図4-4のような問題は試験では出題されないものですが、演習問題の一部を変えてみて、このときはどうなるのか、と考えてみることは理解を助けます。
それがやりやすい分野のひとつがドップラー効果です。
例題３：
次の例題では、音源と観測者が同じ運動をしています。
これを図4-5に示しました。
音源である振動数\(f_0\)の音を発する音叉と観測者が同じ車に乗って、速さ\(v\)で静止している壁に近づいていきます。
このとき観測者が直接音叉から音を聞く場合、その振動数は\(f_0\)です。
一方、壁に反射してきた音波を観測者が聞く場合、ドップラー効果により振動数が変化しています。
この振動数を\(f_1\)とします。
音源が静止する壁に近づくので壁が受ける音波の振動数は\(f_0\)よりも高くなります。
また、壁を、反射する音波の音源と見なす段階では、観測者が音源（壁）に近づくので、やはり振動数は高くなります。
以上より、観測者が壁からの反射音を聞くとき、その振動数は\(f_0\)よりも高いことがわかります。
したがって、うなりが生じます。
観測者が観測するうなりが、毎秒\(n\)回であるとき、\(v\)を\(f_0、n\)、音速\(V\)を用いて表してみます。
\(f_1\gt f_0\)ですから、\(n=f_1-f_0\)です。
また、\(f_1\)は図2-2-1を利用しても求められますが、それを参照しなくても基本的公式を使って求めることができます。
最初に壁が観測者として受けとる音波の振動数を\(f_1'\)とすれば、音源が静止する観測者（壁）に\(v\)の速さで近づくので、
\begin{equation} f_1'=\frac{V}{V-v}f_0 \tag{4-11} \end{equation}
静止する壁は音源として\(f_1'\)の振動数の音波を速さ\(v\)で近づく観測者に返すので、
\begin{eqnarray} f_1&=&\frac{V+v}{V}f_1' \tag{4-12} \\
&=&\frac{V+v}{V-v}f_0 \tag{4-13}
\end{eqnarray}
（4-13）から、確かに\(f_1\gt f_0\)であることがわかります。
これより、
\begin{eqnarray} n&=&f_1-f_0 \\
&=&\frac{V+v}{V-v}f_0-f_0 \\
&=&\frac{V+v-(V-v)}{V-v}f_0 \\
&=&\frac{2vf_0}{V-v} \\
\\
n(V-v)&=&2vf_0 \\
nV&=&v(2f_0+n) \\
v&=&\frac{nV}{2f_0+n} \tag{4-14}
\end{eqnarray}
では、音源が音を10秒間発するとして、最初の波を発してから、観測者がその最初の波を観測するまでの時間が\(t_0\)であったら、音叉が最初に波を発した時の音叉と壁の距離\(L\)はいくらでしょう。
\(L\)を\(t_0、v\)、音速\(V\)を用いて求めます。
問題を簡単にするために、音叉と観測者の距離は\(0\)であるとします。
この問題で注意するのは、動いているのは何かということです。
つまり、音が空気中を運動していて、音叉を出てから観測者に達するまでの時間\(t_0\)の間に動くものは何かということで、音源と観測者が動いていることに気が付くことが大事です。
特に観測者の動きが大事で、音叉が波を発するときの観測者の位置と観測者が波を受け取るときの位置は異なります。
頭の中だけでは考えにくいので、図を描くのが大事です。
時間が与えられていて、距離を求めるわけですから、波の速さが問題になります。
波の速さは変化しないことを確認しましょう。
おそらく次の図4-6のような図が描けると思います。
音叉と観測者の距離は\(0\)ということなので、両者を1本の棒で表しています。
最初の波を発した音叉の位置が\(A\)です。
それから、\(t_0\)後の観測者（音叉）の位置は、\(A\)から\(v\times t_0\)離れた\(B\)の位置です。
図4-6から、\(t_0\)の間に音波が進む距離は、音源→壁の距離\(L\)と、壁→観測者の距離\(L-vt_0\)の和です。
この距離を速さ\(V\)で音波は進むので、[距離]=[速さ]×[時間]の式を考えて、
\begin{eqnarray} L+(L-vt_0)&=&V\times t_0 \tag{4-15} \\
2L&=&Vt_0+vt_0 \\
L&=&\frac{(V+v)t_0}{2}
\end{eqnarray}
音叉は音を10秒間出したとします。
このとき、観測者は壁からの反射音を何秒聞くことになるでしょう。
この場合は、何が変化して、何が変化しないのかを明確にするのが大事です。
波で最も大切な式は、
\begin{equation} [速さ]=[波長]×[振動数] \tag{4-16} \end{equation}
の式です。
ドップラー効果ですから、[振動数]は変化します。
これまで説明してきたように、［波(音波）の速さ］は変化しません。
ゆえに、[波長]も変化します。
また、[音源の出した波の数]=[観測者が聞いた波の数] も成り立つはずです。
観測者は反射音を\(t_1\)秒間聞くとして、この関係を式に表すと、
\begin{eqnarray} f_0\times 10&=&f_1\times t_1 \tag{4-17} \\
t_1&=&\frac{10f_0}{f_1} \tag{4-18}
\end{eqnarray}
初めてみると面食らう問題ですが、何が変化しないのか（等しいのか）、そこを根拠にして立式します。
上の説明のように、この問題は、発した波の数と受ける波の数が等しいことを利用するのが、考えやすいです。
しかし、観測者が音を聞く時間を直接計算するという考えでも、解くことができます。
つまり、音叉が最初に発した波が観測者に到達する時刻\(t_b\)と、音叉がそれから10秒後に発した波が観測者に到達する時刻\(t_e\)を求めれば、\(t_1=t_e-t_b\)として\(t_1\)が計算できます。
音叉が最初に波を発する時刻を\(0\)とします。
そして、この瞬間の音叉と壁の距離を\(L\)と仮定すれば、（4-15）式の\(t_0\)を\(t_b\)に置き換えた式が成立します。
\begin{eqnarray} L+(L-vt_b)&=&Vt_b \\
t_b&=&\frac{2L}{V+v}
\end{eqnarray}
10秒後に音叉が音を発してから観測者に到達する時間を\(t_e'\)とすれば、\(t_e=10+t_e'\)です。
また、10秒経過することにより、音叉と壁の距離は\(L-10v\)になっています。
\(t_e'\)を求めるには、再び（4-15）式を利用して、（4-15）式の\(L\)を\(L-10v\)に、\(t_0\)を\(t_e'\)に置き換えて、
\begin{eqnarray} (L-10v)+((L-10v)-vt_e')&=&Vt_e' \\
t_e'&=&\frac{2(L-10v)}{V+v}
\end{eqnarray}
以上により、
\begin{eqnarray} t_1&=&t_e-t_b=10+t_e'-t_b \\
&=&10+\frac{2(L-10v)}{V+v}-\frac{2L}{V+v} \\
&=&\frac{10(V+v)+(2L-20v)-2L}{V+v} \\
&=&10\frac{V-v}{V+v}
\end{eqnarray}
ところで、（4-13）式を参照すれば、
\begin{equation} \frac{V-v}{V+v}=\frac{f_0}{f_1} \end{equation}
ですから、
\begin{eqnarray} t_1&=&10\frac{V-v}{V+v} \\
&=&10\frac{f_0}{f_1}
\end{eqnarray}
（4-18）式と同じ結果が得られました。
３．例題４：斜め方向のドップラー効果
図4-7に示すように、音源\(S\)が\(x\)軸上を\(v\)の速さで左から右に移動していて、観測者は\(y\)軸上の\(O'\)にいます。
音源が進む向きから、音源から観測者を見る向きまでの角度を\(\theta\)、音速を\(V\)、音源が出す音の振動数を\(f\)とします。
\(\theta=\frac{\pi}{3}\)のとき音源が発した音波を、観測者が受けたときの振動数\(f_1\)を求めます。
斜め方向のドップラー効果は、音源の速さの観測者に向かう成分を考えます。
図4-7のように、角度\(\theta\)を決めれば、その成分は\(v\cos\theta\)ですから、その位置で音源が発した音波を観測者が観測する振動数を\(f'\)とすれば、音源が観測者に近づいているので、\(f_1\gt f\)であることから符号に注意して、
\begin{equation} f'=\frac{V}{V-v\cos\theta}f \tag{4-19} \end{equation}
となります。
したがって、\(f_1\)は、\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)ですから、
\begin{eqnarray} f_1&=&\frac{V}{V-\frac{1}{2}v}f \tag{4-20} \\
&=&\frac{2V}{2V-v}f \tag{4-21}
\end{eqnarray}
となります。
音源が点\(O\)を通過する瞬間に発した音波を観測者が受けたとき、その振動数\(f_2\)はいくつでしょうか。
\(O\)点で出された音は音源と観測者を結ぶ方向（OP方向）の成分が\(0\)なのでドップラー効果を生じません。
つまり、\(f_2=f\)です。
点\(O\)では、\(\theta=\frac{\pi}{2}\)ですから、これを、（4-19）式に代入することでも、\(f_2=f\)が得られます。
では、音源が\(x\)座標で\(-\infty\)から\(+\infty\)まで移動するとき、観測者が受ける音の振動数の範囲を求めます。
\(x\)が負の領域では（原点\(O\)を含めて）、（4-19）式が成り立ちます。
\(x=-\infty\)では、\(\theta=0\)であると考えられますから、（4-19）式から、このときの\(f'=f_{-\infty}\)は、
\begin{equation} f_{-\infty}=\frac{V}{V-v\cos 0}f=\frac{V}{V-v} \tag{4-22} \end{equation}
となります。
この式は、音源がまっすぐ観測者に速さ\(v\)で近づくときの振動数を表しています。
音源が無限遠にあるときは、\(OO'\)の距離は無視できて、観測者から見て\(-x\)の向きに音源が見えるということを示しています。
では、次に、音源が\(x\)の正の領域にある場合を考えます。
このときに、（4-19）式が有効であるかどうかを確認します。
図4-8を見て考えます。
\(x\)の負の領域で立てた式は、正しく立式されていれば、\(x\)の正の領域でも成り立ちます。
（4-19）式で注意するのは、\(\theta\)がどの角度を表すかですが、図4-7では、\(\theta\)を音源が進む向きから、音源から観測者を見る向きまでの角度と考えているので、この定義に従えば、図4-8の\(\theta\)で示した角度が相当します。
現象を考えると、音源と観測者を結ぶ方向の音源の速さ\(v\)の成分は、音源が観測者から離れていく向きであることから符号にも注意して、\(-v\cos\theta'\)となるべきです。
ここで、\(\theta'=\pi-\theta\)ですから、
\begin{equation} \cos\theta=-\cos\theta' \end{equation}
の関係があります。
以上より、\(x\)が正の領域であっても、（4-19）式が成り立つことがわかります。
\(x\gt 0\)で、\(\theta\)は\(\frac{\pi}{2}\)から\(\pi\)まで変化します。
\(x\to +\infty\)で\(\theta\to \pi\)ですから、
このときの\(f'\)を\(f_{+\infty}\)として、（4-19）式を用いて、
\begin{eqnarray} f_{+\infty}&=&\frac{V}{V-v\cos\pi}f \\
&=&\frac{V}{V+v}f \tag{4-23}
\end{eqnarray}
以上より、観測者が受ける音波の振動数\(f'\)の範囲は、
\begin{equation} \frac{V}{V+v}f\lt f' \lt \frac{V}{V-v}f \tag{4-24} \end{equation}
となります。
\(f'\)の範囲を求めるのに、上では\(\theta\)を変数としましたが、\(x\)座標を変数として解くこともできます。
以下に示します。
図4-7に、音源\(S\)の座標と、観測者の座標を書き入れたものを、図4-9に示します。
音源が、\(x\)が負の領域にある場合、\(SO\)の距離は\(-x\)であることに注意します。
音源が観測者の向きに向かう速さは\(v\cos\theta\)ですが、\(x、L\)を用いて\(\cos\theta\)を表せば、
\begin{equation} \cos\theta=\frac{-x}{\sqrt{x^2+L^2}} \tag{4-25} \end{equation}
したがって、
\begin{eqnarray} f'&=&\frac{V}{V-v\cos\theta}f \\
&=&\frac{V}{V+\frac{vx}{\sqrt{x^2+L^2}}} \tag{4-26}
\end{eqnarray}
分母の第2項の符号が変わってしまったように思われますが、\(x\lt 0\)の領域で立式されているためです。
さて、（4-26）式は、\(x\)の正の領域についても成立するでしょうか。
図4-10を見て、\(x\gt 0\)の領域においても、（4-26）式でドップラー効果を表すことができていることを確認してください。
（4-19）式が\(x\)の正負の領域で成立することは確認しましたから、\(x\gt 0\)の領域でも、\(\cos\theta\)が（4-25）式で表されることを確認すればよいことになります。
\(\cos\theta'=\frac{x}{\sqrt{x^2+L^2}}\)で、\(\cos\theta'=-\cos\theta\)ですから、\(x\gt 0\)の領域での\(\cos\theta\)の大きさは、（4-25）式の式の大きさと同じです。
問題は符号ですが、\(x\gt 0\)では、音源は観測者から離れるように移動することから判断して、分母の\(v\)の項の符号も（4-26）式で正しいと確認できます。
音源が、左から右に移動していく過程で、観測者が受ける音波の振動数の範囲を、（4-26）式を元に考えます。
（4-26）式を変形します。
\begin{eqnarray} f'&=&\frac{V}{V+\frac{vx}{\sqrt{x^2+L^2}}} \\
&=&\frac{V}{V+\frac{x}{\sqrt{x^2}}\frac{v}{\sqrt{1+\frac{L^2}{x^2}}}} \\
&=&\frac{V}{V+\frac{x}{|x|}\frac{v}{\sqrt{1+\frac{L^2}{x^2}}}} \tag{4-27} \\
x\lt 0の場合、f'をf_-'として、 \\
f_-'&=&\frac{V}{V-\frac{v}{\sqrt{1+\frac{L^2}{x^2}}}} \tag{4-28} \\
\lim_{x\to -\infty}f_-'&=&\frac{V}{V-v}f \\
x\gt 0の場合、f'をf_+'として、 \\
f_+'&=&\frac{V}{V+\frac{v}{\sqrt{1+\frac{L^2}{x^2}}}} \tag{4-29} \\
\lim_{x\to \infty}f_+'&=&\frac{V}{V+v}f
\end{eqnarray}
以上より、観測者が受ける音波の振動数\(f'\)の範囲は、当然なから、（4-24）式と同じで、
\begin{equation} \frac{V}{V+v}f\lt f' \lt \frac{V}{V-v}f \tag{4-24} \end{equation}
となります。